著名不等式 證明不等式的基本方法和技巧
  1. (引言)設x、y>0，且x+y=1。證明 (1+ 1/x) (1+1/y) ≧9。
  2. 設x1, x2, ... , xn為正實數，證明：
    3. x12
    x2    		 + x22
    x3    		 +...+ xn-12
    xn    		 + xn2
    x1    		 ≧x1+...+xn。
  3. (比較法：差值比較法、比值比較法)設a、b>0，證明：a+b ≧2(ab)1/2。
  4. 設f(x) = x/ (1+x2)， -1 < x1 <x2<1。證明f(x1)<f( x2)。
  5. 設a、b、c為正實數，證明： aabbcc ≧(abc)(a+b+c)/3。(1974年美國競賽題2題)
  6. (綜合法，分析法，分析綜合法)設a1, a2, ....., an 為實數，並且a1a2.....an =1。證明：

    7. (1+a12)(1+ a22).....(1+an2)≧2n。
  7. 設a、b、c為實數，證明：a2+b2+c2≧ab+bc+ca。
  8. 設0≦a, b≦1，證明： 1/(1+a) + 1/(1+b) ≦ 2/[1 + √(ab)]。
  9. 設a、b、c為正實數，證明：a/(b+c) +b/(c+a) +c/(a+b) ≧3/2。
  10. 設a、b為實數， c>0，證明：(a+b)2 ≦(1+c)a2+ (1+1/c) b2。
  11. 設x、y、z為正實數，證明 xyz ≧ (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
  12. 設x、y、z為正實數，並且xyz(x+y+z)=1，求(x+y)(y+z)的最小值。
  13. 設x、y、z為正實數，並且x2+y2+z2=1，證明：xy/z + yz/x +zx/y ≧ √3。
  14. (構造法)設a、b、c、x、y、z為正實數，並且a+x=b+y=c+z=k。證明：ay+bz+cz<k2。
  15. 設x、y、z為正實數，證明：√(x2+xy+y2)+√(x2+xz+z2)>√(y2+yz+z2)。
  16. (放縮法)設0≦x, y ≦1，證明：(1+x+y)(1-x)(1-y)≦1。
  17. 設0≦x, y, z ≦1，證明：x/(1+y+z) + y/(1+z+x) + z/(1+x+y) +(1-x)(1-y)(1-z) ≦1。
  18. 設n 為大於1的正整數，證明：
    19. 1
    n    		 +  1 
    n+1    		 +...+ 1
    n2-1    		 + 1
    n2    		 >1。
  19. 設n≧2，證明：
    20. n
    2    		 < 1 + 1
    2    		 +...+     1 
    2n-1    		 <n 。
  20. 設x1, x2, ... , xn為正實數，證明：
    21. 1 ≦   x1
    x1+x2    		 +   x2
    x2+x3    		 +...+   xn-1
    xn-1+xn    		 +   xn
    xn+x1    		 ≦n-1。
  21.  設ai≧1，i=1, 2, ... , n。證明：(1+a1)(1+a2)...(1+an)≧2n(1+a1+a2+...+an)/(n+1)。
  22. (增量代換法，三角代換法)設1/2≦ai≦1，i=1, 2, ... , n。證明：

    23. a1a2...an+(1-a1)(1-a2)...(1-an)≧1/2n-1。
  23. 設x, y, z ≧0且x+y+z=1，證明：0≦yz+zx+xy - 2xyz ≦7/27。
(基本不等式之練習，加拿大提供)
  1. 設a>b>c>d>0及a+d =b+c。求證：ad<bc。
  2. 假設a、b、p、q、r、s為正整數使得p/q < a/b < r/s及qr - ps =1。證明：b≧q+s。
  3. 已知c≧1≧a為固定的實數，試求b的最大值使得 c+ab≧b+ac≧a+bc。
  4. 假設{ak}為實數數列使得a1=0，及對於k>1，|ak|=|ak-1+1|。

    5. 證明：對於n=1, 2, ....有a1+a2+...+an≧-n/2。
  5. 假設 a≧1及x為實數，證明：
    6.       x2+a 
    √(x2+a-1)    		 ≧2。
  6. 設f(a, b, c, d) =(a-b)2 +(b-c)2 +(c-d)2 +(d-a)2。對於a<c<b<d，求證：

    7. f(a, c, b, d) > f(a, b, c, d) > f(a, b, d, c)。
  7. 設x、y、z為實數，求證：x2+y2+z2≧| xy +yz+zx |。
  8. 設x、y、z為實數，求證：| √(x2+y2) - √(x2+z2) | ≦|y - z|。
  9. 設實數a, b, c, d滿足a2+b2=c2+d2=1，試不運用柯西不等式來證明：|ac +bd |≦1。
  10. (a)對於任意的實數a, b, c, d 使得ac-bd =1，求證a2+b2+c2+d2 +ad +bc >1。

    11. (b)在同樣的條件，求證更強的結果： a2+c2+b2+d2 +ad +bc≧√3。
  11. 證明：對於任意整數n≧2，有
    12. 1+ 1 
    22    		 + 1 
    32    		 +...+ 1 
    n2    		 > 3n 
    2n+1    		 。
  12. 對0<a<b，求證： √(b2-a2) + √(2ab-a2) >b。
  13. 對於正實數x、y、z，證明Schur不等式：x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x) +z(z-x)(z-y)≧0。
  14. (a) 對於自然數k<n，證明：n! > k! (n-k)!。

    15. (b) 對於自然數n>4及k<n，證明：n! <[ k! (n-k)! ]2。
    試求所有可能當n特殊的情況當n≦4。
  15. 對於自然數n，及x>y>0，證明：x1/n - y1/n < (x-y)1/n。
  16. 對於p≧1，證明： |x +y |p ≦2p( |x|p + |y|p )。
  17. 對於0<x<1/n及整數n，證明： (1+x)n< 1/( 1-nx)。
  18. 對於n=1, 2, .....，定義sn=(1 + 1/n)n及tn=(1+1/n)n+1。證明：對於所有正整數j和k，有

    19. sj<sj+1<tk+1<tk，及證明 limn→∞(sn - tn)=0。
  19. 證明： limn→∞ n1/n=1。
  20. (a) 證明：證明
    21. 1
    2    		 . 3
    4    		 . 5
    6    		 ..... 999999
    1000000    		 <  1 
    1000    		 。
    (b) 對於任意的自然數n，證明
    1
    2    		 . 3
    4    		 . 5
    6    		 ..... 2n-1
    2n    		 ≦       1 
    √(3n+1)    		 。
  21. (1987 Lithuanian)設x、y、z為任意的正實數，證明：
    22.      x3
    x2+xy+y2    		 +       y3
    y2+yz+z2    		 +      z3
    z2+zx+x2    		 ≧ (x+y+z)
    3    		 。
  22. 對於正實數a、b、c、d，證明：
    23. ab 
    a+b    		 + cd 
    c+d    		 ≦ (a+c)(b+d)
    a+b+c+d    		 。
  23. 對於自然數n≧2，證明：
    1. nn/2 < n! ≦2n(n-1)/2；
    2. n! < [(n+1)/n]n。
  24. 對於n≧2，證明：2! 4! ....(2n)! > { (n+1)! }n。
  25. 對於n≧2，證明：(n+1)n-1(n+2)n > 3n(n!)2。
  26. 對於n≧3，證明：nn+1 > (n+1)n。
  27. 設n為一正整數
    1. 試考慮恒等式 (1+x)2n =(1+x)n(1+x)n的xn項之係數，或者用其他方法，證明：

      2. 2nCn= nC02+ nC12+...+ nCn2。
    2. 證明： 4n/(n+1) < (2n)！/( n! )2。
  28. (1989澳大利亞)證明：設u，v，c為實數滿足 u2<c2及v2<c2。證明：
    29. [    u+v 
    1+(uv)/c     		 ] 2  <c2 。
  柯西不等式及其應用
  1. (113)已知3x2+2y2+4z2=24，試求W=7x+y-5z的最大值與最小值。
  2. (115)已知x12+x22+....+xn2=1，求y=-x1+√2x1-√3x1+.....+(-1)n√nxn的最大值與最小值。
  3. 已知a、b、c、d、e是滿足 a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16的實數，試確定e的最大值。(1978年第7屆美國數學奧林匹克試題)
  4. (117)m個互不相同的正偶數與n個互不相同等正奇數的總和為1987，對於所有這樣的m與n，問3m+4n的最大值是多少？請證明你的結論。(1987年第2屆全國冬令營試題)
  5. (95)求證yz+zx+xy-9xyz≧0，其中x、y、z為非負實數，滿足x+y+z=1。

    6. 這道條比1984年第25屆IMO試題第一題稍強，原題是：求證
    0≦yz+zx+xy -2xyz ≦7/27，其中x、y、z為非負實數，滿足x+y+z=1。
  6. (274)設有2n x 2n 的正方形方格棋盤，在其中任意3n個方格中，各放一枚棋子，求證：可以選出n行和n列，使得3n枚棋子都在這n行和n列中。

    7. (1990年全國初中數學聯賽試題) 更一般的命題：
    設有( m+n )x(m + n)的正方形方格中棋盤，在其任意m+2n個方格中各放一枚棋子，求證：可選出n行和m列使得m+2n枚棋子都在這n行和m列中。
  7. 在一張向四面無限伸展的方格紙上，每一方格內任意填上一個實數，證明：紙上必有一個方格內的數不大於這一方格周圍八個方格中至少四個方格所填的數。
  8. (105)(1987年第28屆IMO試題) 設n個實數x1、x2、....、xn滿足x12+x22+....+xn2=1，求證：對於任意整數k≧2，存在n個不全為零的整數ai，|ai|≦k-1 (i=1，2，....，n)使得
    9. |a1x1+a2x2+....+anxn| ≦
    (k-1)√n
    kn-1
  9.  (119)四個數之和為4，平方和為8，確定這四個數中最大的那個的最大值。
  10. 設u、v為正實數，求u、v所滿足的充分必要條件，使得對給定n，存在實數滿足

    11. a1≧a2≧....≧an≧0，a1+a2+....+an=u，a12+a22+....+an2=v。
    當這些數存在時，求a1的最大值與最小值。(1989年第30屆加拿大IMO訓練題)
  11. (211)(1990年第31屆IMO預選題) 設a、b、c、d滿足ab+bc+cd+da=1的非負實數。求證：
    12. 　 a3　
    b+c+d    		 + 　 b3　
    a+c+d    		 + 　 c3　
    a+b+d    		 + 　 d3　
    a+b+c    		 ≧ 1
    3
  12. (218)(《數學通報》1983年第7期問題241) 已知a、b、c為正實數，求證：
    13. 1
    a    		 + 1
    b    		 + 1
    c    		 ≦
    a8 +b8+c8
    (abc)3
    		 。
  13. 設x、y、z是正數，x+y+z=3/2，求證(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z)≧125/8，等號成立正當且僅當x=y=z。(《數學通報》1988年第6期有獎問題)這不等式可以推廣為：若正數x1、x2、....、xn滿足x1+x2+...+xn=n/2，則(x1+1/x1)(x2+1/x2).....(xn+1/xn)≧(5/2)n。
  14. 若正實數x1、x2、....、xn滿足x1+x2+...+xn=1，則(x1+1/x1)(x2+1/x2).....(xn+1/xn)≧(n+1/n)n。
  15. (180)用紅、藍、黃三種顏色去染11 x 11棋盤上的方格，每格染且只染一種顏色。求證：不論怎樣染法，棋盤上一定含有一矩形其四角的格子同色且各邊長至少有兩格子。(1983瑞士數學競賽試題)
  16. 六人參加一個宴會，其中任意兩人只能互相認識或互不認識。求證：其中必有兩個三人組，使得每個組中任意兩人都互相認識，或者互不認識(這兩個三人組允許有公共成員)。(1989年第30屆加拿大IMO訓練題)
  17. 設n為自然數，不大於44，求證對每個定義在N2上，值在集合{ 1，2，....，n }中的函數 f，存在四個有序數對(i，j)、(i，k)、(k，l)、(l，k)，滿足f(i，j)=f(i，k)=f(k，l)=f(l，k)，其中i、j、l、k是這樣的自然數：存在自然數m、p使得

    18. 1989m≦i<l<1989 +1989m，1989p≦j<k<1989 +1989p。
  18. (1987年第16屆美國數學奧林匹克試題)已知一個由0、1組成的數列x1、x2、....、xn，A為等於(0,1,0)或(1,0,1)的三元組(xi，xj，xk)，i<j<k的個數，對1≦i≦n，令di為滿足j<i，並且xi=xj，或者j>i，並且xi≠xj，的j個數。
    1. 求證：A=3Cn - 2Cd1 -2Cd2 -..... -2Cdn；
    2. 給定奇數n，A的最大值是多少？
  19. (1999年IMO)設n是一個固定的整數，n≧2。
    1. 確定最小常數C，使得不等式Σ1≦i<j≦nxi xj (xi2+xj2)≦C(Σ1≦i≦nxi)4對所有的非負實數x1, x2 , ..... , xn 都成立。
    2. 對於這個常數C，確定等號成立的充要條件。
 整體與局部(李成章)
  1. 設C1、C2是兩個同心圓，C2的半徑是C1的2倍。四邊形A1A2 A3 A4內接於C1。將 A4A1、A1A2、A2A3、A3A4延長分別交圓C2 於B1、B2、B3、B4。試證四邊形B1 B2 B3B4的周長不小於四邊形A1A2A3A4的周長的兩倍。並請確定等號成立的條件(1988年冬令營競賽題2題)
  2. 數列{an }定義如下：a1=1/2，an =an-1 (2n-3)/2n，n=2, 3, ...。求證對所有正整數n，都有a1+a2+...+an<1。(1988年IMO預選題35)
  3. 能否將兩個1，兩個2，...，兩個1986排成一列，使得兩個i之間恰好夾著i個數(1， 2，...，1986)？(1986年冬令營競賽題5題)
  4. 平面上給定100個點，其中任何正點都不共線，作出以這些點為項點的种有可能的三角形，求證並中至多有70%的三角形為銳角三角形(1970年IMO競實題6題)。
  5. 在有限項的實數數列a1, a2, ....., an中，如果一段連續項ak, ak+1, ....., ak+m的算術平均值大於1988，我們就把這段數稱為一條“龍”，並把ak為“龍頭”。假定數列中至少存在一條龍，求證數列中全體可作為龍頭的算術均值也必定大於1988。(1988年冬令營競賽題3題)
  6. 設一直角MON，試在ON、OM邊上及角內各求一點A、B、C，使BC+CA=t(定長)，且使四邊形ACBO的面積最大。(1978北京市競賽題)
  7. 在半徑為1的圓周些，任意給定兩個點集A和B，它們都是由有限段正不相交的弧組成的，並中B的每段弧的長度都等於π/m，m為自然數。用Aj表示將集合A沿反時針方向在圓周些轉動jπ/m弧度种的的集合(j=1, 2, ...)，求證存在先然數k，使得L( Ak∩B) ≧L(A) L(B) /(2π)，其中L(Z)表示組成點集Z的互不相交的弧段的長度之和。(1989年冬令營賽題1題)
  8. 設p(x)為一個n次多項式，已知 p(k) =k/(k+1)，k=0, 1, ...., n。求p(n+1)之值。

    9. (1975年美國數學奧林匹克試題)
  9. 設a、b、c、d、e是以p、q為界的正數，即0<p≦a, b, c, d, e≦q，求證
    10. (a+b+c+d+e)( 1
    a    		 + 1
    b    		 + 1
    c    		 + 1
    d    		 + 1
    e    		 )≦25+6[ √(q/p) - √(p/q) ]2 。
    (1977年美國數學競賽試題)
  10. 求證滿足不等式的實數x的集合是互不相交的區間的並集，且這些區間長度的總和等於1988。(1988年IMO第4題)
練習題：(數學競賽6-9，湖南教育出版社)
  1. 設a、b、c為正實數，證明： aabbcc ≧ (abc)(a+b+c)/3。(1974年美國競賽題2題)
  2. 178名選手參加乒乓球單打淘汰賽，問到冠軍產生為止，一共要進行多少場比賽？
  3. 平面上的n個圓最多能把平面分成多少部份？
  4. 平面上任給n個點，求證其中距離為單位長的點對數不超過n/4 + n3/2 /√2。
  5. 試證在任何由12人組成的人群中，都可以找出兩個人，使得在其餘10人中，至少有5個人，他們中的每一個人或者全認識過兩個人或者全不認識這兩個人。(1985年莫斯科競賽題)
  6. 將等邊三角形劃分為有限多個小三角形。求證這些三角形中必有一個，它的任何一個內角都不超過120。。
  7. 設an=[ √( (n+1)2 +n2 )]，bn=an+1 - an 其中 n=0, 1, ...。求證對任何自然數N，數列{bn}的前N+1項中等於1的項都比等於2的項數目多。
  8. 圖中陰影所示的四個三角形面積相等，求證無陰影的三個四邊形的面積也相等。如果每個三角形的面積為1cm2，問每個四邊形而積為多少？(第17屆蘇聯競賽題)
  9. 求表達式的值。
  10. 記N為自然數集合，函數f：N→N滿足：對於任意的自然數n、m，有

    11. f(  f(n) + f(m) ) =m + n。試求f(1988)的所有可能值。 (1988年IMO預選題19題)
  11. 設n是一個固定的整數，n≧2。
    1. 確定最小常數C，使得不等式
      2. Σ
      1≦i<j≦n      		 xi xj (xi2+xj2)≦C ( Σ
      1≦i≦n      		 xi　 ) 4
      對所有的非負實數x1, x2 , ..... , xn 都成立。
    2. 對於這個常數C，確定等號成立的充要條件。
     1999年第40屆國際數學奧林匹克比賽(布加勒斯特)
  12. 設 x1, x2, ... , xn 為滿足下列條件的實數：

    13. | x1+ x2+ ...+ xn |=1 且 | xn |≦(n+1)/2；i=1, 2, ..., n。
    證明：存在 x1, x2, ... , xn 的一個排列y1, y2, ... , yn使得
    |y1 + 2y2 + ... + nyn|≦(n+1)/2。
    1997年第38屆IMO試題 (亞根庭)
  13. 設a、b、c為正實數且滿足abc=1。試證
    14. 　1　
    a3(b+c)
    		 +
    　1　
    b3(a+c)
    		 +
    　1　
    c3(a+b)
    		 ≧ 3
    2    		 。
     1995年第36屆(加拿大)國際數學奧林匹克題目
  14. 設m和n為正整數。設a1,a2,....,am為集合{1,2,.....n}中互不相同的元素使得當某些i、j滿足ai+aj≦n則存在某個k，1≦k≦m且ai+aj=ak。證明(a1+a2+....+am)/m≧ (n+1)/2。 第三十五屆IMO，香港舉行。