著名幾何定理

1. 葛爾剛(Gergonne)點：三角形ABC的三邊BC、CA、AB分別與其內切圓相切於點D、E、F，則AD、BE、CF三線共點。(這個點稱為葛爾剛點)

類似地，對旁切圓也有相似的結果。這三個點也稱三角形的葛爾剛點。
2. 奈格爾(Nagel)點：三角形ABC的三個旁切圓在邊BC、CA、AB上的切點分別為D、E、F，則AD、BE、CF三線共點(這個點稱為三角形ABC的奈格爾點)。

註：若三角形一邊上的一點和這邊所對的頂點把三角形的周界分割為兩條等長的折線，則稱這一點為三角形的周界中點。三角形的頂點與其對邊上周界中點的連線叫做三角形的周界中線。
以上的定理可以改為：三角形的三條周界中線交於一點(這點稱為界心)。即三角形的奈格爾點是這三角形的界心。
3. 陪位重心---來莫恩點：設AD為三角形的一條中線，過A作AD'交BC於D'，使∠CAD =∠BAD，即AD'與AD關於A的平分線對稱，則稱AD'為三角形ABC中線AD的陪位中線。三角形ABC的三條陪位中線交於一點。這點稱為三角形ABC的陪位重心，也稱為三角形ABC的來莫恩點。
4. 來莫恩線：過三角形ABC三個頂點A、B、C作其外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交於D、E、F，則D、E、F三點共線。

這條直線稱為三角形ABC的來莫恩線。
5. 正等角中心---費馬(Fermat)點：在每個內角都小於120^。的三角形ABC的外面，做三個正三角形BCA'、CAB'、ABC'，則AA'、BB'、CC'三線其點。“

這個點稱為三角形ABC的正等角中心，或稱為費馬點。
6. 西姆松(Simon)線：若一點在三角形的外接圓上，則這點到三角形三邊所在直線的垂足共線。

這條直線稱為該點對於三角形的西姆松線。西姆松的反定理也成立。
若一點到三角形的三邊所在空線的垂足共線，則這點在三角形的外接圓上。
7. 卡諾(Carnot)定理：西姆松定理的如下推廣，稱為卡諾定理。

若一點P在三角形ABC的外接圓上，從P向三邊BC、CA、AB分別引線段PA₁、PB₁、PC₁成同向等角，則交點A₁、B₁、C₁共線。
8. 清宮定理：設P、Q為三角形ABC外接圓上異於A、B、C的兩點，P點關於三邊BC、CA、AB的對稱點分別為U、V、W，且QU、QV、QW和邊BC、CA、AB所在直線交點分別為D、E、F，則E、E、F三點共線。
9. 托勒密(Ptolemy)定理

四邊形的兩對邊的乘積之后魏於它的對角線乘積的充份必要條件是該四邊形內接於一圓。
10. 馬克斯維爾定理：在任意三角形的內部任取一點P，連結AP、BP、CP。若作一個三角形，使它的邊與上述線段平行，並且過這個三角形的頂點引平行於三角形ABC的邊的直線，則這些直線共點。
11. 牛頓(Newton)線：設四邊形ABCD的一組對邊BA、CD的延長線交於E，另一組對邊AD、BC的延長線交於F，對角線AC、BD以及線段EF的中點分別是X、Y、Z，則X、Y、Z三點共線。

這條線稱為四邊形ABCD的牛頓線。
12. 蝴蝶定理：這一個圓的弦AB的中點M任引兩弦CA和EF，連結CF和ED分別交AB於P、Q，則PM=MQ。
13. 坎迪定理：過一個圓的AB弦上一點M任引兩弦CD和EF，連結CF和ED分別交AB於P、Q，記AM=a，MB=b，PM=x，MQ=y，則有 1/a -1/b=1/x -1/y。
14. 中心射影交比不變定理：從點S任引四直線，與另外的任意兩條直線分別交於A、B、C、D和A₁、B₁、C₁、D₁，則有(ACxBD)/(ADxBC)=(A₁C₁xB₁D₁)/(A₁D₁xB₁C₁)。註：設A、B、C、D為共線四點，則(ACxBD)/(ADxBC)稱為四點A、B、C、D的交比。
15. 完全四邊形的調和性：
16. 笛沙格(Desargues)定理：若三角形ABC與A'B'C'的對應頂點連線AA'、BB'、CC'相交於一點O，則對應邊BC與B'C'、CA與C'A'、AB與A'B'的交點D、E、F共線。
17. 笛沙格對合定理：設L是不通商完全四點形ABCD的全一頂點的直線，若L與它的三對對邊AB與DC、BD與AC、DA與BC的交點分別為X與X'、Y與Y'、Z與Z'，則X與X'，Y與Y'，Z與Z'是屬於同一對個的三對對應點。
18. 巴布士(Pappus)定理：若A、C、E為一直線試三點，B、D、F為另一直線上三點，AB與DE、CD與FA、EF與BC分別相交點L、M、N，則L、M、N(三點)共線。
19. 巴斯卡(Pascal)定理：圓內接六邊形ABCDEF(不要求是凸的)三組對邊AB和DE、CD和FA、EF和BC的交點L、M、N共線。
20. 牛頓(Newton)定理：設圓外切四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA分別與四相切於點E、F、G、H，則兩仔對角線AC、BD，以及對邊切點連線EG、FH，四線共點。
21. 布行安桑(Brianchon)定理：圓外切六邊形ABCDEF的三條對角線AD、BE、CF共點。
22. 莫勒(Morley)定理：
• 性質：若三角形的莫勒三角形為PQR，則AP、BQ、CR三線共點。
• 在三角形ABC的莫勒三角形PRQ中，延長BR、CQ交於P₁，延長CP、AR交於Q₁，且延長AQ、BP交於R₁，則AP₁、BQ₁、CR₁三線共點。
• 若三角形ABC的莫勒三角形為PRQ，角A、B、C的平分線AC、BY、CZ分別積QR、RP、PQ交於X、Y、Z，則PX、QR、RZ三線共點。
23. 設三角形ABC中，BC邊上的點A₁、A₂滿足BA₁/A₁C=CA₂/A₂B=s/t，CA邊上的點B₁、B₂滿足CB₁/B₁A=AB₂/B₂C=s/t，其中0<s<t，BB₁與CC₂，CC₁與AA₂，AA₁與BB₂分別交於點P、Q、R。證明：三角形PQR與三角形ABC相似，且相似比為(t-s)：(2t+s)。
24. Safta猜想：(苗相軍)設AA₁、BB₁、CC₁是三角形ABC的這同一點的三條塞瓦線，若A₁A與B₁C₁交於P，BB₁交於C₁A₁交於Q，CC₁與A₁B₁交於R，則

AP  PA1

+

BQ  QB1

+

CR  RC1

≧3。

25. 直線對上等坎迪定理：若過兩直線的線段AB上的任一點M，任引兩直線間的兩條線段CD和EF(C、F在同一直線上)，連結CF、ED分別交AB於P、Q，則

1/MP - 1/MQ= 1/MA - 1/MB。
26. 四邊形的“坎迪定理”：任意四邊形的對角線AC、BD交於O，過O作直線EF積GH，其中EF文AB、CD於E、F，GH交DA、BC於G、H，EH、GF分別交BD於P、Q，則 1/OP -1/OQ =1/OB -1/OD。
1. 設D是三角形ABC的BC邊上的內點，直線XY分別交AB、AC、AD於X、Y、Z，則有 DCxBX/XA + BD xCY/YA =BC x DZ/ZA。
2. 過四旁形ABCD對角線AC、BD交點O的直線EF積一組對邊AB、CD分`別交於E、F，則有

AE  EB

BO  OD

DF  FC

CO  OA

=1。

 
27. 五角星中等梅涅勞斯定理：若ABABABABAB是一個五角星，則

AB

　
　
　

第三章梅涅勞斯定理向塞瓦定理 的推廣

1. (陳榮華)設D、E、F分別是三角形的三邊BC、CA、AB或其延長線上的點，且BD/DC=p，CE/EA=q，AF/FB=r，則

三角形DEF的面積　　　　　　  三角形ABC的面積

=

1+prq　 (1+p)(1+q)(1+r)

。

2. 推論1：設D、E、F分別為三角形ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的點，且BD/DC=CE/EA=AF/FB=p，則

三角形DEF的面積　　　　　　  三角形ABC的面積

=

1-p+p2 (1+p)2

。

3. 推論2：設M是三角形ABC內一點，D、E、F分別是AM、BM、CM與邊BC、CA、A的交點，且BD/DC=p，CE/EA=q，AF/FB=r。則

三角形DEF的面積　　　　　　  三角形ABC的面積

=

2　　　 (1+p)(1+q)(1+r)

。

4. 推論3：設M是三角形ABC內一點，D、E、F分別是AM、BM、CM與邊BC、CA、A的交點，則

三角形DEF的面積

≦

1 4

( 三角形ABC的面積)

。

等號成立當且僅當p=q=r=1，即M為三角形ABC的重心。
(第26屆積第31屆預選題)
5. 定理3.2 設D、E、F分別是三角形的三邊BC、CA、AB或其延長線上的點，且BD/DC=p，CE/EA=q，AF/FB=r。若AD與BE、BE與CF、CF與AD分別交於點P、Q、R，則

三角形PQR的面積　　　　　　  三角形ABC的面積

=

(1-prq)2　　 (1+p+pq)(1+q+qr)(1+r+rq)

。

6. 設D、E、F分別是三角形ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上等點，且BD/DC=CE/EA=AF/FB=p，若AD與BE、BE與CF、CF與AD分別交於P、Q、R，則

三角形PQR的面積　　　　　　  三角形ABC的面積

=

(1-p)2 (1+p+p2)

。

7. 等邊三角形ABC的面積為36，P、Q、R分別為BC、CA、AB上的點，且BP=BC/3，AR=RB，PQ垂直AC，試求三角形PQR的面積。

(1988年第四屆全國部份省市初中通信賽)
8. 在等邊三角形ABC的邊BC、CA、AB內分別有有點D、E、F，將邊分成2：(n-2)其中n>4)，線段AD、BE、CF相交成的三角形PQR的面積是三角形的1/7。試求n的值。

(1995年河北省初中數學競賽)
9. 設三角形ABC的三邊長為a、b、c，設AD、BE、CF分別為三角形的內角平分線，求證：

三角形DEF的面積　　　　  三角形ABC的面積

=

2abc　 (a+b)(b+c)(c+a)

。

(1958年第三屆上海市中學生數學競賽)
10. 已知三角形ABC被平行於BC的直線EF所截，且三角形BEF的面積的於定值k²，則k²與三角形ABC的面積S之間滿足甚麼關係時關有解？

(1987年上海市初中數學競賽)
11. 正△ABC的邊長為1，BC、AC、AB上的點P、Q、R滿足BP+CQ+AR=1而移動，設BP=x、CQ=y、AR=z，三角形PQR的面積為S。試用x、y、z表示S。

(1996年安徽省部份地區初中數學聯賽)
12. 設三角形ABC的面積為1，試分別在旁BC、CA、AB上各找一個內點D、E、F，使得三角形DEF的面積S' 適合 1/4<S' <1/3。

(1988年江蘇省初中數學競賽)
13. 已知三角形ABC兩邊BC、CA上分別有定點D、E，滿足BD/DC=2，CE/EA=3，F為AB邊上等動點，又AD與BE、BE與CF、CF與AD分別交於P、Q、R。問F在AB邊上知處時，可使面積比 S_PQR：S_ABC=1/9。
14. 在凸六邊形ABCDEF中，AB平行DE，BC平行EF，CD平行FA。求證三角形ACE、BDF的面積相同。
15. M為三角形內任一點，AM、BM、CM分別交BC、CAAB於點D、E、F，則有：

三角形DEF的面積　　　　  三角形ABC的面積

=2

MD MA

ME　　  MB

MF　　  MC

。

(1964年匈牙利數學奧林匹克)
16. 在三角形ABC的各邊分別取D、E、F，使BD≧DC，CD≧EA，AF≧FB。求證： S_PQR≧S_ABC/4。
17. 設三角形ABCD的面積為1，D、E、F分別為邊BC、CA、AB上的點，且AF=AB/m，BD=BC/n，CE=CA/p，試求三角形DEF的面積。

(1984年西安初中數學競賽)
18. 設D、E、F分別為三角形ABC三邊BC、CA、AB上的點，BD/BC =CE/CA =AF/AB =1/3，且AF與BE、CE與CF、CF與AD分別交於P、Q、R，試求S_PQR/S_ABC。
19. 設三角形ABC的面積為1，0≦x≦1，A'、B'、C'分別為BC、CA、AB上的點，且BA'：A'C=CB'：B'A=AC'：C'B=(1-x)：x。試行用x表示三角形A'B'C'的面積。

(1995年澳大街亞11年級數學競賽)
20. 設H為三角形ABC的垂心，AH、BH、CH分別積BC、CA、AB相交於D、E、F。證明：S_DEF/S_ABC=2cosAcosBcosC。
21. 設三角形ABC的三邊BC、CA、AB之長、半周長與面積為a、b、c、p與S，且其內切圓與這三邊分別相切於D、E、F。求三角形DEF的面積。
22. 已知三角形ABC的面積為S，作一條直線L//BC，L與AB、AC分別交於F、E兩點，記三角形BEF的面積為R，證明R≦S/4。

(1989年第二屆祖沖之杯邀請賽)
23. 在三角形ABC中，點F為AB邊的中點，D、E分別是BC、CA上的點。證明：三角形DEF的面積不超過三角形AFE與三角形BFD的面積之和。

(1989年第17屆全蘇中學生數學奧林匹克)
24. 設三角形ABC的內切圓積邊BC、CA、AB相切於D、E、F，求證：三角形DEF的面積示大於三角形ABC面積的四份之一。

(1987年四川省數學競賽)
25. 設P為三角形ABC邊上的任一點，PE平行BA，PF交AC於E，PF平行AC，PF文AB於F，且三角形ABC的面積為1，記平行四邊形PEAF的面積為S，試求S的最大值。
26. 設P、R、R分別是三角形ABC三邊BC、CA、AB上的點，BC、CA、AB之長分別為a、b、c，BP、CQ、AR之長分別為x、y、z，且x/a+y/b+z/c=1，試用a、b、c、x、y、z表示S_PQR/S_ABC。
27. 設A₁、B₁、C₁分別位於三角形ABC的三邊BC、CA、AB上，若BA₁/A₁C =AB₁/B₁A =AC₁/C₁B =m/n。求證：三角形A₁B₁C₁各ABC有公共的重心。

(1957年南京市中學生數學競賽)

設三角形ABC的三邊BC、CA、AB之長、半周長與面積為a、b、c、p與S。三角形的重心為G，垂心為H，外心為O，三個旁心分別為I_a、I_b、I_c，界心為K。設重心三形、垂心三角形、內心三角形、旁心三角形、外心三角形、界心三角形的面積分別為S_G、S_H、S_I、S_Ia、S_Ib、S_Ic、S_O、S_K。
　

特殊點	G	H	I	Ia	Ib	Ic	O	K
p	1	c cosB　　  b cosC	c　　  b	c　　  b	-c　　  b	-c　　  b	sin 2C　　　  sin 2B	p-c　　　  p-b
q	1	a cos C　　  c cosA	a　　  c	-a　　  c	a　　  c	-a　　  c	sin 2A　　  sin 2C	p-a　　　  p-c
r	1	b cosA　　  a cosB	b　　  a	-b　　  a	-b　　  a	b　　  a	sin 2B　　  sin 2C	p-b　　　  p-a