第一章：普通推理法

1. 三個盒子

有三個盒子，一只金的、一只銀的、一只是鉛的，其中一個有一個肖像。每只盒子上寫有一句：
金盒：肖像在這盒子；
銀盒：肖像不在這盒中；
鉛盒：肖像不在金盒中。
已知以上三句中，只有一句是真。問肖像放在那個盒中？　
解：留意在金盒、鉛盒的兩句子，它們不能同時為真。所以這兩句至少有一句是錯的。
• 如果肖像真的在金盒中，則金、銀兩個盒上的句子也是真的。
• 如果肖像真的在鉛盒中，則金、銀兩個盒上的句子也是真的。
• 因此肖像只能在銀盒中；這時金、鉛兩盒上的句子也是錯的。
經核對所有條件後，總結：肖像在銀盒內。
2. 兩只球的顏色。

有三只盒，每只盒內裝有兩只球，分別是：黑黑、白白、黑白。每只盒子貼上了標明內容的標簽。但是所有的標簽都貼錯了。
現在只可以打開其中一只盒子，且只能取出一個球來看看。
問：應選擇打開那個盒子，使得在取出一個球後，便能將所有標簽都糾正過來？　
解：只能打開標有“黑白”的盒子，這時盒子的兩個球只能同色，看過其中一個球的顏色，便知道這盒子兩個球的顏色。
• 如果(取出)這兩個球同是黑色，則標有“白白”的盒子不能載有兩個白球，所以只有一個黑球、一個白球。
• 如果(取出)這兩個球同是白色，則標有“黑黑”的盒子不能載有兩個黑球，所以只有一個黑球、一個白球。
3. 四少女的姓名

敏敏、慧慧、芳芳、文文都是四個好朋友。文文從北京回來，其他三人來她家看望。
芳芳說：“小劉有人工加。”
小劉說：“這要多謝慧慧、是她幫忙。”
小金說：“慧慧固然有功，但主要還是靠你的實力。”
這時郵差送來一封信：“吳小姐，你的信。”
芳芳說：“快看你爸爸寄來的信，我先和小林談一談。”
問：你可知她們的姓名？　
解：首先，進行分析。
• 由芳芳的(第一句)說話，得知芳芳的姓不是劉；
• 由小劉的說話，得知慧慧的姓不是劉；
• 由小金的說話，得知慧慧的姓不是金；
• 由郵差(在文文家中)的說話，得知文文的姓是吳；
• 由芳芳的(第二句)說話，得知芳芳的姓不是林。
然後，列出以下的圖表(單有黑色)：

	敏敏	慧慧	芳芳	文文
小劉	v	x	x	x
小金	x	x		x
小吳	x	x	x	v
小林	x	v	x	x

　
• 已知“吳文文”是對的，在以上的圖表中加入 x，然後會發現只有“林慧慧”是對。加入v、x。最後發現只有“劉敏敏”是對的。再加入v、x。所以剩下“金芳芳”是對的。
經核對所有條件後，總結：“吳文文”、“林慧慧”、“劉敏敏”、“金芳芳”。
4. 誰是夫婦

李、趙、王、姜、鄭、羅、劉、鍾是四對夫婦。試由下面各項關係分析和各人的性別並指出各對夫婦。
1. 王結婚時，李在作客；
2. 李的大衣和姜的大衣是同一式樣；
3. 劉夫婦到海外工作時，趙、羅、李的配偶前往送行；
4. 鍾的配偶是劉的表兄；
5. 鍾未結婚時，與李、羅同住一間集體宿舍。
解：由(i)得知王、李不是夫婦；由(ii)得知李、姜的姓別相同。
由(iii)得知劉、趙、羅、李兩兩不是夫婦。
由(iv)得知鍾是女姓；由(v)及(ii)得知鍾、李、羅、姜也是女仕。所以其餘四位必是男仕：趙、王、鄭、劉。再用以上的條件，作出以下的圖表：

女\男	鄭	趙	劉	王
李	v	x	x	x
羅	x	x	x	v
姜	x	x	v	x
鍾	x	v	x	x

　
• 再比較第一橫行， 得個“李、鄭”為配偶；並填入v、x
• 再比較第二橫行， 得個“羅、王”為配偶；並填入v、x
• 如果“姜、趙”是配偶，則剩下“劉、鍾”必是配偶。這與(iv)有矛盾。

所以“姜、鍾”是配偶，則剩下“劉、趙“才是真的。
經核對所有條件後，總結：“李女仕、鄭先生”，“羅女仕、王先生”，“姜女仕、劉先生”，“鍾女仕、趙先生”。
5. 小王的競賽成績(家課)

小王參加了語文、算術兩科的競賽。跟據他自已提供的情況，四個同學對他的成績作了如下的預測：。
甲：語文85分、算術85分；
乙：語文85分、算術不是95分；
丙：語文95分、算術不是95分；
丁：語文95分、算術95分；
競賽委員會公報成績後，四人中有一人完全正確，其他人也都猜對了一半。問小王的成績究竟如何？
解：由甲、乙的預測一錯一對，得知小王的兩科分數只能是85、95。
對小王的語文分數分兩個可能：
• 如果小王的語文85分：則由丁的預測是一錯一對，得知小王的算術科是95分。那麼丙的兩個預測全錯。
• 如果小王的語文95分：則由甲的預測是一錯一對，得知小王的算術科是85分。

這時，甲、乙、丙、丁四人的預測各乎合一對一錯。
總結：小王的語文95分、算術85分。
6. 玻璃是誰打碎的

某校教室大塊窗玻璃被打碎了，當時只有四信學生在場。老師向這四個學生作調查，得到女下的答覆：
甲說：(1)玻璃不是我打碎的；(2)我離玻璃很遠；(3)丁知道誰打碎的。
乙說：(1)這不是我的錯；(2)上學之前我不認識丁；(3)這是丙打碎的。
丙說：(1)玻璃不是我打碎的；(2)這是丁打碎的；(3)乙說是我打碎的，他說謊。
丁說：(1)這不是我的錯；(2)玻璃是甲打碎的；(3)乙可作證，他從小就認識我。
進一步調查後發現，每個學生都講了兩句真話和一句假話。你能否分析出來哪個學生打碎了玻璃？
解：對四個可能性分別考慮：
• 如果甲打碎窗玻璃：可以在以下圖表填入(黑色)；再由兩真話和一假話的條件，填入紅色的真、假。

(甲打碎)	句子1	句子2	句子3
甲	假	真	真
乙	真	真	假
丙	真	假	真
丁	真	真	假

經核對後，所有條件全滿足，甲打碎窗玻璃。但注意可能其餘三個人也有可能。所以要繼續考慮其他的三個可能。
• 如果乙打碎窗玻璃：則乙(1)、乙(3)皆是假話，這與原來的條件“兩真話和一假話”有矛盾。
• 如果丙打碎窗玻璃：則丙(1)、丙(2)皆是假話，這與原來的條件“兩真話和一假話”有矛盾。
• 如果丁打碎窗玻璃：則丁(1)、丁(2)皆是假話，這與原來的條件“兩真話和一假話”有矛盾。
總結：甲打碎窗玻璃。
證法二(未完成)：
• 考慮乙(3)：這是丙打碎的、丙(1)：玻璃不是我打碎的(即這不是丙打碎的)；這兩句是相反，因此乙(3)、丙(1)只能是一真一假。
• 假設丙(1)是對的，真是丙做的，則只考慮丙(1)、丙(3)
7. 誰是百米賽跑第二名

甲、乙、丙三人進行一場田徑賽，三人的積分共為35分，每個比賽項目的分數分配辨法相同。第一、第二、第三都得(不同的正)整數分。已知其中有一人獲得四個第一，而在得分相同的乙、丙兩人中，只有丙一人獲得過一次第一。現在已知乙擲標槍得第三名，問誰是百米賽跑第二名？
解：分幾步進行分析：
1. 首先估計第一、第二、第三的總得分，由於三個名次的得分不同，所以第一、第二、第三的總得分至少是1+2+3=6；已知35=(項目總數)x(第一、第二、第三的總得分)，由於35=1x35=5x7=7x5=35x1，所以第一、第二、第三的總得分可能是7、35。
2. 如果只有一個項目，則乙、丙的得分不會相同；所以項目總數大於1。由(i)得知第一、第二、第三的總得分只是7，及項目總數=5。
3. 已知a+b+c=7其中整數a>b>c只有一組解(a, b, c)=(4, 2, 1)。所以第一、第二、第三的得分分別是4、2、1。
4. 已知乙、丙的分數相同，而三人總分是35，所以甲的分數只能是奇數。
5. 由於得分是4、2、1，任何一個人得到四次第一，他的總分必能分別大於其餘兩人。所以由乙、丙的分數相同，得知只有甲取得四個第一。所以他的得分只能是4x4+1=17或者是4x4+2=18，視乎餘下的一個比賽是第三或者第二。由(iv)得知甲有四個第一、一個第三。
6. 由(v)得知乙、丙的得分分別是(35-17)/2=9。
7. 由於乙在某項比賽取得第二、及擲標槍比賽取得第二。由於甲已取得四個第一，所以丙在擲標槍中得第二，即有二分。由於(vi)餘下的三個比賽丙只得9-(4+2)=3，即全部第三。
8. 最後填入乙的其餘分數，得知乙有四個第二、一個第三(擲標槍)。

	甲	乙	丙
	1 (v)	2	4(已知)	7
擲標槍	4 (v)	1(己知)	2	7
	4 (v)	2 (viii)	1 (vii)
	4 (v)	2 (viii)	1 (vii)
	4 (v)	2 (viii)	1 (vii)
總分	17(v)	9(vi)	9(vi)	35

總結：所以乙在百米賽跑第二名。
8. 十張卡片(家課)

在十張卡片上分別編上1- 10十個號碼，並把它們分發給A、B、C、D、E五人，每人兩張。只知道各人兩張卡片號碼之和為：A 11、B 4、C 7、D 16、 E 17。
你想，各人的卡片號碼各是多少？
解：分幾步進行分析
• 由B4，得知B的兩個號碼是1、3。(考慮正整數方程 a+b=4, a>b>0)
• 由C7，得知C的兩個號碼是2、5。(考慮正整數方程a+b=7，a>b>0, a、b不能是1或3)
• 由A11，得知A的號碼只能是4、7。(考慮正整數方程a+b=11，a>b>0, a、b不能是1、2、3、5)
• 由D16，得知D的號碼只能是6、10。(考慮正整數方程a+b=16，a>b>0, a、b不能是1、2、3、4、5、7)
• 最後E只能是8、9，滿足原。
9. 教授、工程師、醫生和學生的住房

A、B、C、D同住一幢18層的大樓，他們當中有教授、工程師、醫生和學生。已知
1. D住在A上面，A任在C上面；
2. B住在醫生下面，醫生住在教授下面；
3. D住房的層數恰好是學生住房層數的5倍；
4. 如果工程師所住的層數增加2層，則他與醫生相隔的層數恰好和他與教授相隔的層數一樣；
5. 如果工程師住房的層數降低一半，他將恰在學生與醫生的中間(即學生與醫生住房的平均數)。
試求A、B、C、D四人的職業住房層數。

第二章：假設法

1. 數學競賽的名次

數學競賽開始了，三位教師對參加比賽的四名學生的名次作了如下的預這：
教師甲：小王第一名，小劉第二名；
教師乙：小王第二名，小羅第三名；
教師丙：小李第二名，小羅第四名；
比賽結果公佈後，三位教師都沒有完全猜想，但都猜對了一半，問這四名學生的名次如何？(四人名次各不相同)
解：不妨分別考慮：
• 若小王是第一名，則由教師甲的說話，得知小劉不是第一、第二名。

此時，由教師乙的說話，得知小羅是第三名。如此，小劉只能是第四。
再由教師丙的說話，得個小李是第二名。
• 若小劉是第二名，則由教師甲的說話，得知小王不是第一、第二名。

此時，由教師乙的說話，得知小羅是第三名。
再由教師丙的說話，得個小李是第二名。這與小劉是第二名有矛盾。
總結：小王第一、小李第二、小羅第三、小劉第四。
2. 三個盒子(重覆)
3. 百米決賽的名次(家課)

在田徑運動決賽中，A、B、C、D、E五人取得了100米決賽權。觀眾對他們五人的名次做了五種估計，決賽結果證明，任何一種估計都只有一半是對的。觀眾的五種估計如下：
甲：B第二、A第三；
乙：A第一、E第四；
丙：C第三、D第五；
丁：B第二、E第四；
戊：D第一、C第二。
問：五人的名次如何？　
解：有兩個條件：
• 如果B是第二：由甲、丁的估計，在下表填入紅色x，再由戊的估計，C不能是第二，再填入紅色(x)，於是D是第一，再填入紅色(v)。再在D的豎列、橫行中，填入藍色x。由丙的估計，得C是第三，填入(v)，再在C的豎列、橫行中，填入(x)。藍色x。剩下來看第四橫行，得知A是第四，填入v、x及最後的(v)。但表中的條件與乙的估計不是一對一錯。
　

(B：第二)	A	B	C	D	E
第一	(x)	x	x	(v)	x
第二	x	v	x	x	x
第三	x	x	(v)	x	(x)
第四	v	x	(x)	x	x
第五	x	x	(x)	x	(v)

　
• 如果B不是第二：由甲、丁的估計，得知A是第三、E是第四。橫行、豎列填入x。由丙的估計，得知D是第五，加入v及x。最後填入v、x。

(B：不第二)	A	B	C	D	E
第一	x	v	x	x	x
第二	x	x	v	x	x
第三	v	x	x	x	x
第四	x	x	x	x	v
第五	x	x	x	v	x

經核對所有條件後，總結：B第一、C第二、A第三、E第四、D第五。
4. 兩只球的顏色(重覆)
5. 小李是第幾名(家課)

小李參加物理競賽，三位同學對他的名次作如下的猜測：
甲：小李非第一名，也非第二名；
乙：小李非第一名，是第二名；
丙：小李非第三名，而是第一名。
結果一人全對、一人全錯、一人猜對一半。問小李是第幾名？
解：
6. 各科競賽第一名是誰(家課)

甲、乙、丙、丁四人在一起議論數理化外四科競賽的第一名是誰：
甲：丁是外語第一名；
乙：丙是物理第一名；
丙：甲不是數學第一名；
丁：乙是化學第一名。
成績公佈後，四個人都是某科的第一名，而且取得數學第一名和外語第一名的兩人講對了，其他兩人講錯了。試問這四位同學誰是哪一科的第一名？
7. 派誰去執行任務(家課)

要分配A、B、C、D、E五人中若干人去執行某項任務，分配時需要考慮下列條件：
1. 若A去，則B也去；
2. D、E兩人中至少去一人；
3. B、C兩人中去一人且只去一人；
4. C、D兩人都去或都不去；
5. 若E去，則A、D都去。
問應該讓誰去？