皮亞諾(Peano Axioms)自然數公理:
滿足以下五條公理的集合N稱為自然數集
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0N;
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若xN,則x有且僅有一個後繼x'N;
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對任一個xN,皆有x'≠0;
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對任意x、yN,若x≠y,則x'≠y';
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(歸納公理)設MN,若0M,且每當xM時也有x'M,則M=N。
有以下的定理:
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定理:對任意的自然數x,有x'≠x。
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定理:若x≠0,則存在唯一的自然數y使得y'=x。
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定義(加法):存在唯一的二元運算(規定) +:NxN→N滿足以下的性質:
對任意的自然數x、y,有
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x+0=x;
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x+y'=(x+y)'。
註:以上的定義是遞歸定義,對初學的學生可能很默生,但如果明白自然數集中的數學歸納公理,這便是歸納公理的用處。回憶小學老師教加法的計算:用兩組手指合拼起來,然後順序地數,直到數完為止。這方法是有效,看來交換律等的性質是易見,但仔細地想一想,順序數的方法有很多種,為何按照不相同次序來數的方法所得到的和仍是相同?想一想:這已經涉及非常多次的交換、結合律。
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定理:對任意的自然數x、y,有
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定理:(加法交換律)對任意的自然數x、y,有x+y=y+x。
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定理:(加法結合律)對任意的自然數x、y、z,有(x+y)+z=x+(y+z)。
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定理:(消去律)若自然數x、y、z滿足x+y=x+z,則y=z。
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定義:(自然數的乘法):存在唯一的二元運算(規定) .:NxN→N滿足以下的性質:對任意的自然數x、y,有
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x.0=0;
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x.y'=x.y+x。
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定理:對任意的自然數x、y,有
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定理:(乘法交換律)對任意的自然數x、y,有x.y=y.x。
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定理:(乘法分配律)對任意的自然數x、y、z,有x.(y+z)=(x.y)+(x.z)。
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定理:(乘法結合律)對任意的自然數x、y、z,有(x.y).z=x.(y.z)。
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定義:(自然數的序)設x、y為自然數,稱x小於或等於y(或說x大於或等於y),
記為x≦y (x≧y),如果存在自然數u,使得x+u=y (x=y+u)。
稱稱x小於y(或說x小於y),
記為x<y (x>y),如果x≦y 且x≠y(x≧y且x≠y)。
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定理:(反自反性) 對任意的自然數x,x<x不能成立。
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定理:(可傳性)定理:若x<y且y<z,則x<z。
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定理:(可比性)定理:x≦y與y≦x二者必居其一。
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定理:(三分律)定理:x<y、x=y、y<x三者必居其一。
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定理:若x<y,則x'≦y。
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定理:(自然數的良序)設L為自然數集合N的一個非空子集,則L必有最小數。
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定理:(強歸納或第二數學歸納法)設關於自然數的命題P(n)滿足以下兩個條件:
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P(0)成立;
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若命題P(k)對所有小於m的自然數k皆成立,則P(m)也成立。
註:
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雖然我們沒有給出以上的結果或定理的任何證明,但它們在數學的證明中時常用到。
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所以自然數的性質對學習數學非常重要。